无理数的概念，无理数是数学中的一个重要概念，它指的是不能表示为两个整数的比值的数。
无理数的概念最早由古希腊数学家毕达哥拉斯提出。他们将所有的数分为两类，一类是有理数，即可以表示为整数的比值，另一类是无理数。
无理数可以用三种不同的定义方法进行描述。
1. 无窃取定理
最早被证明的无理数概念是通过无窃取定理。这个定理通过反证法证明了无理数的存在。
假设某数x是一个有理数，即x可以表示为两个整数a和b的比。那么可以假设a/b是一个最简分数，即a与b没有共同的因数。由于x是一个有理数，可以将其表示为循环小数或者有限小数。比如说，0.33333...表示为1/3。
现在，我们来构造一个数y，使得y是一个无理数。让y等于x乘以一个常数c，这个常数c在x的循环小数表示中不出现。这样，我们可以得到y=xc。
我们再来观察y的循环小数表示。如果y是一个有限小数，那么它可以被表示为两个整数的比值，从而y是一个有理数。但是我们可以证明，y的循环小数表示是无限长的，即y是一个无理数。这与我们的假设相矛盾，所以我们的假设是错误的，即x是一个无理数。
2. 代数方法
代数方法是另一种描述无理数的常见方法。在这种方法中，我们假设某个数x是一个无理数，并尝试用代数的方式来证明它。
例如，欧几里德证明了根号2是一个无理数。他使用了反证法，假设根号2是一个有理数，即可以表示为两个整数的比值。通过对该比值进行平方，可以得到一个等式2=a^2/b^2 (其中a和b是整数)。根据这个等式，可以得出结论a^2是2的倍数，从而a也是2的倍数。
假设a=2c (其中c是整数)。代入等式2=a^2/b^2，可以得到等式2=4c^2/b^2，进一步化简得到等式1=2c^2/b^2。
根据这个等式，可以得出结论b^2是2的倍数，从而b也是2的倍数。然而，这与我们的假设相矛盾，因为我们假设a和b没有共同的因数。
因此，我们可以得出结论根号2是一个无理数。
3. 连分数表示
连分数表示是另一种常见的无理数表示方法。在连分数表示中，无理数被表示为一个整数加上一个真分数，然后再将真分数表示为一个整数加上另一个真分数，如此下去。
可以使用连分数表示来表示诸如正弦函数、指数函数等无理数。
无理数的概念，例如，黄金分割数（Golden Ratio）可以用连分数表示为1+1/(1+1/(1+1/(1+...)))。这个连分数以无限递归的形式表示了黄金分割数。